天才ガロアの発想力(小島寛之)

作者: 小島寛之
出版社/メーカー: 技術評論社
発売日: 2010/08/21
メディア: 単行本（ソフトカバー）
購入: 88人クリック: 2,294回
この商品を含むブログ (44件) を見る

20歳の時に決闘で散ったガロアが遺していった「群論」と「5次以上の方程式には解の公式がない」の2つがどう結びついているのかよくわかってなかった。

最近「ガロア理論入門」を買ったのだが、かなり難しい。そこで「群の叡智 - ガロア理論を知るための三作 - 404 Blog Not Found」で小飼弾氏が書かれている通りに、「天才ガロアの発想力」「ガロアの群論」「ガロア理論入門」の順に読もうと思う。

で、本書。著者が書かれている以下のエントリを見ても、入魂の力作だというのがわかる。

実際、中学数学程度の知識(2次方程式は解けるぐらい)を前提にした、非常にわかりやすい解説書だった。ガロアの理論に興味のある人にオススメ。特に第2章で、2次方程式を題材にして「体と自己同型を使って解の公式を導出する」プロセスを体験できるのがいい。次に群とはどういうものかを図形を使って解説し、しかるのちに3次方程式に話を移すという順序で話が進む。

その結果、5次以上の方程式では解を含む体の自己同型の成す群が簡単でなくなるために、係数から解が導けないことがあるというのはわかったが、もう一歩踏み込んで理解したかったな。クライマックスのところ(P193)、

例えば、5次方程式 $x^5 - 10x + 5 = 0$ の解から作った体の自己同型の成す群は、5本のあみだクジのつくる群(120個の元から成る)と同型の群となります。そして、この群は十分に複雑な構造の群であるため、上に提示したような(右剰余類が巡回群となるような)部分群の系列が存在しないことを示すことができるのです。証明は略します。そういうわけで、5次以上の方程式には、解の公式が存在しないことが証明されました。

これは完全ではない「それなり版」の証明であるという前提ではあるのだが、「証明は略します」のところでズッコケてしまった。そこは書いてくれないのか…。ここまできたら、具体的に部分群の系列が作れない様子を大まかにでも観察して「ああ、こういうケースがあるから5次では無理なのか!」と納得したかったのだが、難しくなりすぎるということなのかな。他の本で勉強することにしよう。

それから、誤記が多いのが気になった(私が読んだのは初版第1刷)。本当に誤記なのか自信が持てないのもあるが、見つけたのは以下。