数学ガール(結城浩) - 全脳自由帳

作者: 結城浩
出版社/メーカー: SBクリエイティブ
発売日: 2007/06/27
メディア: 単行本
購入: 58人クリック: 1,055回
この商品を含むブログ (965件) を見る

前から読みたいと思っていた本。想像していたよりずっとよい本だった。本屋でパラパラめくった限りでは、前半は知っていることばかり出てくるのかと思っていたが、違っていた。各章のタイトルと、補足として章の内容の要約を書くと以下のようになる。

第1章数列とパターン
数列の最初の部分を見てその後(あるいは一般項)を推測する

第2章数式という名のラブレター
約数の和、方程式と恒等式

第3章 ωのワルツ
複素平面上の数列

第4章フィボナッチ数列と母関数
数列→母関数→母関数の閉じた式→数列の一般項

第5章相加相乗平均の関係
(ここはまさしくタイトルの通り)

第6章ミルカさんの隣で
離散的な世界での導関数・n次関数(下降階乗冪)・指数関数

第7章コンボリューション
カタラン数の母関数と一般項、コンボリューション(たたみ込み)

第8章ハーモニック・ナンバー
調和数、調和数と連続関数との関係、素数の無限性

第9章テイラー展開とバーゼル問題
$\sin x$ のテイラー展開を用いてバーゼル問題( $\zeta(2)$ )を解く

第10章分割数
分割数の母関数・上界

話は「僕」と2人の女の子「ミルカさん」「テトラちゃん」(あまりその方面に詳しくないのだが、ミルカさんはツンデレ系、テトラちゃんは妹系ということになるのだと思う)との間の会話をベースに進んでいて、要点をきちんとおさえてくれるので理解しやすい。連続な世界での微分に対応する離散的な世界での「差分」の定義、カタラン数( $0+1+2+\cdots+n$ におけるカッコのつけ方の総数)の一般項の求め方、バーゼル問題の解き方、分割数の上界を設定していく戦略などは非常に興味深かった。

それにしても、自分が三角関数の倍角公式(より一般的には加法定理)をきれいさっぱり忘れていたのにはあきれた。ふだん使う機会なんてまずないのではあるが。ついでにここにメモしておく。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \Rightarrow \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \Rightarrow \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$