財布の中に小銭の少なくなった理想的な状態というのを定義しておく。要は10円玉が5枚以上あるとか50円玉が2枚以上あるとかいうような、より上位の硬貨/紙幣に替えられる状態になっていなければいいわけで、紙幣も含めて考えると、同じ金額に対して最もよい状態というのは以下のようになっているときである。
- 1円玉、10円玉、100円玉、1000円札は0〜4枚
- 5円玉、50円玉、500円玉、5000円札は0〜1枚
- 10000円札は何枚あってもよい
このような状態になっているとき、同じ金額に対して紙幣・硬貨の構成が「コンパクト」になっていると定義することにする(数学の「コンパクト」という用語を借りてきただけ)。
たとえば財布にお金が34567円ある場合、コンパクトな構成は10000万円札3枚、1000円札4枚、500円玉1枚、50円玉1枚、10円玉1枚、5円玉1枚、1円玉2枚である。1000円札が1枚減って500円玉が3枚あったり、50円玉がなくて10円玉が6枚あったりするのはコンパクトでない構成である。0円以上の任意の金額に対してコンパクトな構成が1通りだけ存在することは明らか。
なお、ここまでの議論では2000円札の存在を無視している。2000円札も考慮に入れることにすると「コンパクト」の定義は変わってくる。
