前回までに定義した、金額に対する紙幣・貨幣の「コンパクト」な構成という概念を使うと、買い物をする時の支払いにおいて以下の定理が成り立つ。
定理1: 財布の中身N円の構成がコンパクトで、そこからm円の買い物(m≦N)をする場合、釣銭をコンパクトな構成で返してくれるならば、支払いの結果として財布の中身がコンパクトになるような支払い方法が存在する。
つまり、店の側が釣銭をコンパクトな構成で返してくれる限り、こちらの払い方をうまくすれば買い物の後の財布の紙幣・貨幣の構成をコンパクトにすることが必ずできる。
これは実は自明で、極端な話、財布の中身N円を全て差し出せばよい。釣り(N-m)円をコンパクトな構成で返してくれれば、財布の中身はコンパクトになる。
逆に、店の側が釣銭をコンパクトな構成で返してくれないと、無駄な構成が混じることになるので財布の中身はコンパクトにならない。したがって、釣銭をコンパクトな構成で返してくれることは、財布の中身がコンパクトになるような支払い方法が存在するための必要十分条件である。
